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數學扎記

10/5/2012)在網路上搜尋連分數的收斂性。有些是抄自 G. H. Hardy 的教科書,由於年代久遠,對解馬修方程並不適用。新進作者太重視一般化,雖有特色,對我無用。還有一些伸手要錢的雜誌從中作梗,使得上網搜尋特別費力。搜尋五日,一無所獲。今日偶然發現 H. S. Wall 的論文A CONVERGENCE THEOREM FOR CONTINUED FRACTIONS及其書 Analytic Theory of Continued Fractions。這正是我想念的東西。連分數、馬修方程與微擾理論均極繁瑣且互相牽連,但由於是兵家必爭之地,一定得弄透徹。

12/15/2012)生存之道:柔弱生之徒,老氏戒剛強:找別人不願做的工作,總有收入﹔買快過期的菜,比較便宜;忍他人所不能忍的氣,以成志業。工欲善其事必須活得長,所以應注意飲食與運動。
    學科分類:學術精細分工之後,單一領域的專家,可能對其他領域一無所知。現在寫一篇學術論文得注明該文的領域。但跨域的論文有誰看呢?難道這些論文都沒水準嗎?

12/16/2012)生活在網路時代,只要有些基礎,雖獨學而無友,亦能博學而多聞,而且自在消遙少羈絆。圖書館、書包、書本、筆記本都不需要,只需一台筆電。

(3/14/2013)以前是看完一本書再看第二本書,現在想著應該是學完一論題再學第二論題。因為任何一本書都不可能將某論題講得很完善,而熟悉該論題的環境需花費很大的精力。與其在三個不同的時間,從頭開始得到三次不同的模糊概念;不如一鼓作氣念三本書的同一論題,得到不同的觀點,將其中道理融會貫通,一次徹底瞭解清楚。例如學「解之穩定性」應當將李雅普諾夫函數 V 視為一般化的能量函數,將 dV/dt 視為一般化的耗散函數。穩定理論是用數學的語言來解釋某些物理現象,經過抽象化而作成的理論。做這些準備工作大約需要一週的時間。遇到一定理時,應想想它的物理意義是什麼,因為抽象的東西只是實體的影子。若不這樣做,研讀理論好的話如同嚼蠟,壞的話便如同捉風捕影了。

(3/17/2013)以前認為書中的定理只需依據章節編號即可,無需特別給個名字。多個名字會增加學生記憶的負擔,而且容易讓學數學的人養成沽名釣譽的心理。最近遇到一習題 [Cod, p.37, Prob. 1],我花了三天也解不出來。 [Har, p.24, Theorem 1.1] 的內容與其相似,卻有一個名字,Gronwall's inequality。於是我就用 "Gronwall's inequality" 上網搜尋,結果在維基百科找到原來習題的解答;解法頗為詭異。由此可見給予定理專有的名字,不僅利於公開討論,而且便於上網搜尋。

(3/28/2013) 前幾天發現萊文森的錯誤。他採用如下論證:
若 [((A 且 C)ÞB) 且 (BÞC)], 則 (AÞB)   (*),
其中
A = [Cod, p.318, (1.16) & (1.17)];
C = [|j(t)|£d 且 Cod, p.319, (1.22)] (參見 [Cod, p.319, l.15-l.16]);
B = [Cod, p.319, (1.23)]。
若在(*)中將B代如C,我們將得 (AÞC) 的錯誤結論。可見萊文森的論證是錯的。我們至多只能說在A的假設下,B與C等價。看見萊文森用盡吃奶的力氣仍然證錯,不得不佩服龐特里亞金的高瞻遠矚。參見 [Pon, p.208, Theorem 19] 的證明。萊文森的證明可用下法改正:
即使 [Pon, p.211, l.-11] 比 [Cod, p.319, (1.23)] 的估計效能較差,我們可用它來證明C。由此可得更好的估計B。

(4/10/2013) 縮減為較少方程組實為參數變值法的變型 [Cod, p.71, l.-2-l.-1]。比較 [Har, p.50, Lemma 3.1] 和 [Har, p.48, Theorem 2.1] 的證明比比較 [Cod, p.73, Theorem 2.5] 和 [Cod, p.74, Theorem 3.1] 的證明更易看出此論點﹔這是因為哈特曼採用矩陣記號使證明結構清晰化。[Har, p.50, l.9] 中的代換 y=Z(t)z 與 [Har, p.48, (2.1)] 對應﹔[Har, p.50, (3.6)] 與 [Har, p.48, (2.4)] 對應。然而哈特曼卻未指出上述重要論點。

(4/13/2013)現在才發覺3月17日所說解不出的問題竟是我在多年以前曾經做過的習題,而且證明比維基的證明簡單。

(4/14/2013)[Har, p.60, l.14-l.16] 給我深刻的印象;[Har, p.60, l.-12-l.-6] 解釋得很詳細。後來 [Cod, p.78, l.-10-l.-7] 發覺簡單扼要,而 [Cod, p.80, l.8-p.81, l.6] 解釋得很清楚。

(4/17/2013)今天將高次線性微分方程與線性微分方程組的對應關係作成一表。如何安排使各種性質與關係一目瞭然,很費周折。除了非齊次線性系統之解外,所有的性質都是在高次線性微分方程的情況下,看來較自然且簡單。又發現 [Har, p.64, (8.5)] 中之 u 不應擺在第一行,應擺在最後一行。因為此 u 可視為 [Har, p.64, (8.4)] 中之 ud ,也可視為 [Bir, p.36, (12)] 中之 g

(4/21/2013)今天發覺 [Har, IV, §9(ii)] 有關實約旦範式的部分寫得亂糟糟。讀了 http://www.numbertheory.org/courses/MP274/realjord.pdf 之後, [Har, IV, §9(ii)] 不必細看。

(4/25/2013)有關拉格蘭奇等式的證明,[Har, p.66, l.-12-p.67, l.5] 的方法比 [Cod, p.86, l.1-l.15] 的方法好。

(5/10/2013) 近讀吉田耕作所寫有關富克斯定理 [Yos, p.37, Theorem 12.1] 的證明。其環境單純,證明一氣呵成,且能突出重點。[Har, p.85, Theorem 12.1] [Cod, p.125, Theorem 5.2] 的證明均嫌支離破碎,對不重要的地方做不稱比例的膨脹,以致難以洞察其重點。在複雜的環境下,遇到問題,常感茫然無緒,束手無策。譬如欲證 [Har, p.85, l.-3-l.-2] [Cod, p.125, l.11-l.14] 中之命題,若引用 [Har, pp.70-71, Theorem 10.1] [Cod, p.109, Theorem 1.1] 之證明,因其對此問題言作了無必要的複雜化如約旦範式,故查證困難。若閱讀 [Yos, p.37, l.-1-p.39, l.16],將論證一般化,即得解答,且解法具啟發性。

(7/7/2013) [Inc1, p.212, l.8] 提到 V1, V2, … ,V2n-m 僅由 U1, U2, … ,Um 決定。我花了兩天的時間欲將
V1, V2, … ,V2n-m U1, U2, … ,Um 表示,但總覺使不上力。閱讀 [Inc1, p.212, l.9-l.14] 後方知其原義僅為「一旦 U1, U2, … ,Um 決定後,即使 Um+1, Um+2, … , U2n 改變成 U'm+1, U'm+2, … , U'2nV'i = 0 (i = 1,2, … , 2n-m) 仍可以 Vi = 0 (i = 1,2, … , 2n-m) 代之」。因斯數學功力雖強,其寫作能力卻不甚高明。

(8/11/2013) [Inc1, p.227, l.-6] 中之公式是對的;而 [Inc1, p.227, l.-3] 中之公式有小錯。R.S. Johnson 所著 An introduction to Sturm-Liouville theory, p.20, l.20, l.3 將因斯之錯式認為是對式;同書 [p.19, l.-1] 將因斯之對式改成錯式。因斯言之不詳;約翰遜思之不密。 蓋嘆因斯之簡,而笑約翰遜之陋也。

(8/19/2013) 昨日將 "(l0=L1Û(G1º, a1'=0, b1'=0)" [Inc1, p.235, l.4-l.5] 之證明上網。初稿生硬零亂,但一時不知如何修改。在陪同家母沿新街溪散步時,突然想出系統整理之妙策,遂得珠圓玉潤之證明。

(10/1/2013) 從前念 [Inc1, p.237, l.4-l.14; p.241, l.-2-l.-1] 時,似懂非懂。今日閱讀 Bôcher 的論文 The smallest characteristic numbers in a certain exceptional case 後,依其方法把前述未看懂的地方搞通了。 Bôcher 的論文可謂有深度:能搔到癢處並提升讀者的功力。設法將類似之事扮演相同的角色是我早想提筆寫的東西;今日總算找到二例上網。

(10/7/2013) 作為數學家說話務必斬釘截鐵。口氣不夠肯定容易使讀者無所適從。[Inc1, p.243, l.13-l.14]ui(x) 認同為 y2(x, mi)。可以這樣,是否也可以那樣呢?[Cod, p.216, l.2]y(x, mi) 特徵函數;其語氣肯定,不容第二種解釋。

(10/8/2013) 讀數學書只需看主要結果 [Inc1, p.247, l.17-l.20; Cod, p.214, Theorem 3.1]。後者資料略豐,因其包含 [Cod, p.213, (3.2)] 的情況。[Cod, p.215, l.6, l.8, and l.11] 可補 [Inc1, p.247, l.1] 之不足。閱讀 [Cod, p.215, (3.14)] 之後,方知 [Inc1, p.246, l.23] 中之等式在 l 為二重根時始成立。此二參考書的資料可互補,亦可兩相對照。至於為何 F (L1, n1) 中有偶數根 [Inc1, p.244, l.16],因此問題與主要結果無關,可不必去理會。

(5/6/2014) 早上看不懂 [Cod, p.252, l.-6],似乎一時也想不出解決的辦法。呆坐無益,只好走出書房去逛超市。剛出超市就想到答案的關鍵應在 [Cod, p.227, (2.11)]

(5/28/2014) 今日學術界的問題在於發表論文。為表現自己有本事,故意寫得讓人看不懂,以致言之無物的垃圾作品充斥於世且讓有價值之著作反遭埋沒。遠離學術界可保持純真與誠實,不必自欺欺人或作踐自己。

(6/8/2014) 書中的錯誤可衡量對理論瞭解的程度。第一層次看過去沒有錯誤的感覺;第二層次看過去有錯誤的感覺,但不知錯誤在哪裡;第三層次看過去能指出錯誤所在,但不知如何更正。第四層次看過去知道如何改正錯誤。

(1/13/2015) [Bel63, p.50, l.1-l.4] 中之命題有錯誤,難怪我花了許多時間也證不出來。例如在
x-y+2z=-1,
x-y+2z=3,
x-3y+z=0
之情況下,A1¹0¹A2,但第一平面與第二平面平行。事實上,[Bel63, p.49, (5)] 就犯了錯誤,因其未考慮兩平面平行的情況。撰寫論文時,篇幅所限,不便更 正。這些錯誤均由於作者粗心所造成。

(2/5/2015) 有關 [Bel63, p.126, l.5-l.8] 的證明,上次開砲打偏了,這次正中紅心。

(3/19/2015) 這週收穫不少:發現笛卡兒坐標無能力區分所有方向的無窮遠點;有關能淘汰多數選項的方法,也找到範例。

(3/21/2015) 就微觀而言,如何使歸謬論證變得更直接,現已有滿意解答:建立細密的定理流程圖。有關歸謬證法的論文總算可以告一段落。

(3/26/2015) 有關橢球系統的討論,[Dassios, Ellipsoidal Harmonics, p.6, l.10-l.-1] 比 [Bel63, §116] 完整詳盡。不過前一書寫得頗簡略,作者與讀者的互動比率是 50% 對 50%。即作者教 50%,讀者想 50%。有時讓讀者多想想並非壞事。

(4/2/2015) 將 [Bel63, p.184, l.12-l.13] 中的命題證了四、五次;每次證完又發現問題再重證。經過四、五次之後,才算滿意。該命題堪稱難題。

(9/22/2015) 證明 [Chu, p.133, Theorem 5.4.2, (9)] 為偽。當問題解不出時,覺得花時間想問題不值得;當問題解出後,覺得花時間想問題增進了澄清混淆的能力,很值得。

(12/18/2015) 一般的存在性由建造存在、歸謬存在、假設存在所混成。今日更增近存在與遠存在,其目的在於更能細分有效性。

(12/20/2015) 念數學七部曲:一、瀏覽;二、精讀;三 、搞懂;四、看出結構;五、釐清混淆;六、到位,即了解各定理在理論中所扮演的角色;七、靈活運用。切記躁進;若有一 部未做好,回頭彌補後再往前走。

(12/29/2015) 今天總算真正看懂 [Har, pp.12-13, Theorem 3.1]。該正面講,作者卻以反面說明,所以不容易懂。

(3/24/2016) 比較 [Fomi, p.198, Theorem] 之證明與 [Cod, p.197, l.7-l.8] 中命題之證明可知前者之特徵值均屬建造存在,而後者之特徵值均屬歸謬存在。

(7/11/2016) 數學方法:例、廣義取向。

(12/12/2016) 為了解釋 [Wat1, p.338, l.-2-l.-1],證得下三等式等價:
(a). F(-n,b;c) = (c-b)n/(c)n
(b). (x+a)n = Sk=0nC(n,k)(x)k(a)n-k
(c). C(x+a,n) = Sk=0nC(x,k)C(a,n-k)。
證畢,吟詩一首。〈運思〉:集中火力猛進攻,茅塞思路盡打通。昨日猶覺亂紛紛,今朝一劍定乾坤。

(1/1/2017) 昨日將 Leb, §9.5 及 §9.7 的材料加進〈存在性〉的論文中,在效能方面添增勁道及新血。

(1/8/2017) 存在性:方法解。